十个重要的经济学中的数学模型

来源：模型视角

在数学和经济学的交叉点上，诞生了一系列强大的模型，这些模型深化了我们对市场、消费者行为和全球经济的理解。这些模型不仅为经济学家提供了一个框架，来形式化地探索复杂的经济问题，而且为政策制定者、投资者和企业家提供了实用的指导。在这篇文章中，我们将探讨十大经济学中的数学模型，这些模型在理论和实践中都具有里程碑式的意义。(经济学中有众多的数学模型，不同的学者和研究者可能会有不同的“前十大”模型评价。但基于经济学的主要领域和历史发展，以下是被广大经济学家公认为十大重要的数学模型。)

供需平衡模型 (Supply-Demand Equilibrium)

19世纪中叶，经济学家如亚当·斯密、大卫-李嘉图等开始描述供需之间的关系。供需平衡模型的形成主要归功于19世纪末的经济学家，特别是阿尔弗雷德·马歇尔。马歇尔在其经典著作《经济学原理》中详细描述了供需曲线以及它们如何决定市场价格。
其中，  是供给量，  是需求量。
供需平衡模型是经济学中最基本和最核心的概念之一。它描述了一个市场上的商品或服务的供给量和需求量之间如何达到平衡。当供给量等于需求量时，市场达到平衡，此时的价格被称为平衡价格。
为了进一步描述这一关系，我们通常使用供需曲线。这两条曲线分别表示价格与供给量和需求量之间的关系:
需求曲线  ：当价格上升，需求量下降，反之亦然。这是因为消费者在价格上升时更倾向于购买较少的商品或服务。
供给曲线  ：当价格上升，供给量也上升，反之亦然。这是因为生产者在价格上升时有更大的动力提供更多的商品或服务。市场平衡发生在  ，此时的价格为  和数量为  。

图形上，需求曲线通常是向下倾斜的，表示需求量随价格降低而增加；而供给曲线则是向上倾斜的，表示供给量随价格上升而增加。两条曲线的交点即为市场的平衡点。

供需模型基于一系列假设，其中一些关键假设包括：市场是完全竞争的，没有买家或卖家可以影响价格；所有商品和服务都是同质的；不存在交易成本。这些假设在许多实际市场中并不成立，因此供需模型可能不完全准确。但尽管如此，供需模型仍然是分析市场行为的有力工具。

IS-LM模型

1936年，约翰·梅纳德·凯恩斯出版了他的名著《就业、利息和货币的通论》，其中提出了一个与传统古典经济学不同的宏观经济视角。凯恩斯主张，在某些情况下，尤其是在经济萎缩时，私人部门的投资和消费可能不足以确保全体劳动力的就业。在这种情况下，政府干预和财政政策可能是必要的。约翰·希克斯和阿尔文·汉森在凯恩斯的理论基础上，进一步发展了IS-LM模型，将其形式化为今天我们所熟知的形式。

IS 曲线 (投资与储蓄平衡)：

其中，

是总收入或产出。
是消费，它是收入和税收的函数。
是投资，它是利率的函数。
是政府购买。

LM 曲线 (货币供给与货币需求平衡)：

其中，

是货币需求。
是价格水平。
是货币需求函数，它是利率和总收入的函数。

在一个坐标系中，IS 曲线通常是向下倾斜的，因为在较低的利率下，投资更多，从而增加了总需求。而LM 曲线通常是向上倾斜的，因为在较高的产出水平下，货币需求增加，从而需要更高的利率来达到货币市场的平衡。IS 曲线和LM 曲线的交点表示商品市场和货币市场同时达到平衡的产出和利率组合。

IS-LM模型基于一些假设，如价格水平固定、只有一个商品市场和一个货币市场等。因此，尽管它是一个有力的分析工具，但在某些情况下可能需要修正或扩展，以考虑其他因素，如预期、国际资本流动等。

Cobb-Douglas生产函数

Cobb-Douglas生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一。Charles Cobb 和Paul Douglas在1928年首次提出了这种形式的生产函数，以描述某种产品或服务的产出如何依赖于生产要素的数量和组合。函数的数学形式为:

其中:

是总产出。
是资本存量。
是劳动力。
是一个技术参数，表示给定的资本和劳动力投入可以生产多少产出。
和是资本和劳动的产出弹性，它们描述了资本和劳动在生产过程中的相对重要性。
这种生产函数的一个重要特性是它具有常数规模报酬的属性，这意味着如果我们将所有的输入 (即资本和劳动) 都放大一个固定的倍数，那么产出也会放大同样的倍数。具体地说，如果，则该函数具有常数的规模报酬。此外，该函数通常用于描述生产的边际产品递减的特性，即随着一个输入的增加（在其他输入保持不变的情况下)，产出的增量会逐渐减少。

为了绘制Cobb-Douglas生产函数，我们将考虑两个输入：资本和劳动。因为是二维图形，我们可以将其中一个输入固定，并展示另一个输入与产出之间的关系。例如，我们可以固定为一个常数，并展示与之间的关系。为此，我们将使用以下参数:

然后绘制关于的图形。

Solow增长模型

Solow增长模型是宏观经济增长理论中的核心模型，用于描述长期经济增长、资本积累、劳动力增长和技术进步之间的关系。罗伯特·索洛在1956年首次提出了这个模型，并因此在1987年获得了诺贝尔经济学奖。

其中:

是资本存量的变化率。
是储蓄率，它是总产出的一部分，被重新投资为新的资本。
是总产出。
是资本的折旧率。
是资本存量。

这个方程告诉我们，资本的增加（或积累）是由两部分组成的：第一部分是储蓄（或投资)，第二部分是资本的折旧。此模型还可以扩展以考虑劳动力增长和技术进步。在其最基本的形式中，它提供了一个框架，用于研究资本积累如何影响经济增长。

Cournot竞争模型

1838年，Antoine Augustin Cournot 提出。Cournot竞争是描述寡头市场中两家或几家公司如何在产量上竞争的一种模型。在这种模型中，每家公司都选择它认为最有利可图的产量水平，同时考虑到其他公司的产量选择。Cournot模型的关键假设是每家公司都认为其竞争对手的产量是固定的，不会因为自己的产量选择而改变。

是公司 1 的反应函数，表示当公司 2 选择产量时，公司1会选择多少产量。
是公司 2 的反应函数，表示当公司1选择产量时，公司 2 会选择多少产量。

在Cournot平衡中，两家公司的选择是一致的，即他们各自的产量选择满足了他们的反应函数。具体来说，这意味着在平衡中，和的值是这两个方程的解。在Cournot模型中，每个公司都选择一个产量，期望其他公司保持其产量不变。这种互动经常被描述为“反应函数”，即每个公司如何反应于其他公司的产量选择。

Bertrand竞争模型

1883年，Joseph Bertrand 提出该模型。Bertrand竞争与Cournot竞争有着根本的不同。在Cournot模型中，公司在产量上进行竞争，而在Bertrand模型中，公司在价格上进行竞争。更具体地说，每家公司都选择一个价格，并期望其竞争对手保持其价格不变。

Bertrand竞争的关键特点是消费者会从提供最低价格的公司那里购买商品，前提是商品是相同的或完美替代的。这意味着，如果一个公司设定的价格低于另一个公司，那么它将获得全部的市场份额。只有当两家公司的价格相同时，市场份额才可能会分割。

具体来说:

如果 $p_1
如果，公司2将获得全部的市场份额。
如果，两家公司可能会分享市场份额，具体取决于其他市场条件，如品牌忠诚度、产品差异等。

尽管Bertrand模型提供了有关价格竞争的有趣见解，但它的预测在某些市场条件下可能不完全准确，尤其是当产品存在差异或有一定程度的品牌忠诚度时。

Edgeworth Box

1881年，Francis Ysidro Edgeworth 提出。

Edgeworth Box是一个经典的微观经济学工具，用于描述两位消费者在两种商品上的交换。这个框架可用于描绘两位消费者之间的可能的交换和分配，以及如何达到某种平衡或核心。为了构建一个Edgeworth Box，考虑两位消费者：消费者 1 和消费者2，以及两种商品：商品和商品y。Box的宽度表示消费者1和2总共拥有的商品x的数量，而高度表示他们总共拥有的商品y的数量。Box的左下角代表消费者 1 ，而右上角代表消费者2。在Edgeworth Box中，每个点代表一种可能的商品分配。例如，Box的左下角表示消费者1获得所有的商品，而消费者2一无所有。反之亦然，Box的右上角表示消费者2获得所有的商品，而消费者1一无所有。

U₁(x₁, y₁) = U₁*

U₂(x₂, y₂) = U₂*

表示两位消费者的效用函数。在这里，和是给定的效用水平。在Edgeworth Box中，这两个等式可以用来绘制所谓的"不变异曲线"（或称为"等效用曲线"）。这些曲线表示消费者在两种商品上的消费组合，使他们获得相同的效用。交易将继续进行，直到达到某个点，该点在两位消费者的不变异曲线上都是切点。这个点被称为"Pareto最优"，因为没有其他的商品分配可以使一个消费者更好，而不损害另一个消费者。

这就是Edgeworth Box的图示。在这里：

蓝色的等效用曲线代表消费者1的不同效用水平。
红色的等效用曲线代表消费者2的不同效用水平。这个图展示了两种商品x和y的所有可能的分配方式。正如您所见，当我们从左下角到右上角移动时，消费者1的商品x的数量减少，而消费者2的商品x的数量增加，反之亦然。

图中的交叉点或接触点代表那些两位消费者都没有进一步交易动机的分配。这些点是Pareto最优的，因为在这些点上，我们不能通过重新分配商品来使一个消费者更好而不损害另一个消费者。

为了简化，我们在这里使用了Cobb-Douglas效用函数。读者可以根据需要选择其他效用函数来绘制Edgeworth Box。

Phillips Curve

Phillips Curve是宏观经济学中的一个重要概念，它描述了失业率与通货膨胀率之间的关系。最初，Phillips Curve是基于观察到的数据，显示在失业率低的时期，工资通常上升得较快，而在失业率高的时期，工资上涨得较慢或不上涨。后来，这种关系被扩展到了失业率与价格通货膨胀率之间。1958年，Alban William Phillips 描述了失业与通货膨胀的关系。

上述公式是Phillips Curve的现代版本，它考虑了期望的通货膨胀率和其他因素。公式中的各项具有以下含义:

: 在时间的通货膨胀率。
: 在时间的通货膨胀率，代表了人们对于末来通货膨胀的期望。
: 在时间的失业率。
: 自然失业率或非加速通货膨胀失业率 (NAIRU) 。它是当通货膨胀率稳定时的失业率。
:一个正数，代表失业率与通货膨胀率之间的负关系的强度。
: 一个随机误差项，代表了其他末被模型考虑的因素对通货膨胘的影响。

从这个公式中可以看到，当失业率低于自然失业率时，通货膨胀率上升；当失业率高于自然失业率时，通货膨胀率下降。

尽管Phillips Curve提供了失业与通货膨胀之间关系的有用框架，但这种关系在不同的时间和地点可能会发生变化。在1970年代的石油危机期间，例如，许多国家同时经历了高失业和高通货膨胀，这被称为"滞胀"，这使经济学家对Phillips Curve的传统版本产生了疑虑。因此，现代的Phillips Curve模型，通常包括期望的通货膨胀率和其他变量。

Hotelling's Rule

1931年，Harold Hotelling 提出。Hotelling's Rule 是自然资源经济学的一个基本原理，特别是关于不可再生资源 (如矿产) 的提取。这条规则描述了在某些假设下，如何最有效地提取和使用这些资源。具体来说，Hotelling's Rule 表明，在给定的市场条件下，不可再生资源的单位净价格（即资源价格减去提取成本) 在时间上的增长率应等于该资源的折现率。

: 资源的单位净价格随时间的变化率。
: 资源的折现率或利率。
: 在时间的资源的单位净价格。
这条规则的背后逻辑是这样的：如果资源的价格增长率低于利率，那么持有者会更愿意立即出售资源并将所得资金投资在其他地方以获得更高的回报。反之，如果资源的价格增长率高于利率，那么持有者会更愿意保留资源，等待将来价格更高时再出售。这种平衡确保了资源的有效提取和使用，考虑到时间价值和市场条件。

这个简化的规则基于一些假设，如市场是完全竞争的，没有提取成本变化等。在实际应用中，可能需要考虑更复杂的因素。

CAPM

CAPM（资本资产定价模型）是金融理论中的一个关键模型，它提供了一个框架来评估一个资产的预期回报，基于其系统性风险。系统性风险是与整个市场相关的风险，与特定资产的特定风险相反。

CAPM的基本公式为：

其中:

: 资产的预期回报。
: 无风险利率，通常使用短期政府债券的利率作为代理。
: 市场组合的预期回报。
: 资产的beta系数，度量资产回报与市场回报之间的相关性。具体来说，它是资产回报与市场回报之间的协方差与市场的方差之比。的解释非常重要:
如果，资产的预期回报与市场平均回报完全一致。
如果，资产比市场更有风险，预期回报也应该更高。
如果，资产比市场风险更低，预期回报也应该更低。
CAPM提供了一个理论框架，用于评估给定其系统性风险的资产应该有的预期回报。这对于投资决策、资产估值和资本预算等金融活动至关重要。然而，尽管CAPM在理论上具有吸引力，但它在实际应用中受到了一些批评，因为它基于一些可能不完全成立的假设，如市场完全有效、投资者是理性的等。

经济学中的这些数学模型为我们提供了一个宝贵的工具箱，帮助我们解析和预测经济现象。尽管这些模型在形式和复杂性上各不相同，但它们共同的目标是揭示经济行为背后的基本原理和动力。当我们面对全球经济的不确定性和挑战时，这些模型为我们提供了一个坚实的理论基础，使我们能够做出更明智、更有根据的决策。作为经济学和数学的结合，这些模型是我们对这个复杂世界的尝试理解的见证，也是我们不断追求知识的动力源泉。

参考资料：

https://www.studysmarter.co.uk/explanations/microeconomics/economic-principles/economic-modelling/

原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s/k7HTLWEefN-eibOY9w31Rg